viernes, 25 de abril de 2014

Entendiendo el modelo de Solow












Robert Solow


¿Cómo se determinan las tasas de crecimiento de capital y renta? Entiende también que es el estado estacionario. Sin duda es uno de los mejores modelos para entender el funcionamiento de la macroeconomía. Esperamos que sea de vuestro agrado y como siempre si le dais a "me gusta" nos motiváis a seguir


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El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento económico de un país (economía cerrada), en cuanto algunas ayudan a mejorar la situación solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como significativas en el proceso de crecimiento, como exógenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas en la siguiente forma (aunque se puede por supuesto plantear también referido a la Productividad Total de los Factores)1 :
(1a)Y=K^\alpha (AL)^{1-\alpha}\,
Definiendo las variables, tenemos que:
K\, = Capital total
L\, = fuerza laboral o trabajo total usado en la producción.
A\, = es una constante matemática que representa la tecnología asociada al factor trabajo.1
Y\, = Producción total [medida por ejemplo en unidades monetarias].
\alpha\, = Fracción del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes.
Se sabe, por otro lado, que necesariamente \scriptstyle 0<\alpha<1, se puede probar que α coincide con la participación total del capital en la producción (de acuerdo con el análisis de laproductividad total de los factores). Si alfa es α ~ 1, la producción se basará fundamentalmente en el capital disponible y será casi independiente de la mano de obra. Existen razones para suponer que para muchas situaciones reales la función de producción de Cobb-Douglas es una función creíble de producción que tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo. Más adelante se verá que si se supone que la función de producción es de este tipo, existe la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro.
Técnicamente la hipótesis de que la función de producción es la función de Cobb-Douglas no es fundamental para el modelo, porque bastaría que fuera una función monótona creciente en el capital y la cantidad de trabajo.
Para formular el modelo a partir de la función de Cobb-Douglas se definen por conveniencia:
  • el producto per cápita efectivo y como la cantidad de producción por unidad de mano de obra y
  • el stock de capital per cápita efectivo k como la cantidad de capital por unidad de mano de obra
Es decir, definimos las variables:
(2)y:= \frac{Y}{AL}, \qquad k :=\frac{K}{AL}
Como hemos supuesto que la función de producción es de tipo Cobb-Douglas se tiene la siguiente relación entre y y k:
(1b)y = \frac{K^\alpha (AL)^{1-\alpha}}{AL} = \frac{K^\alpha}{(AL)^\alpha}= k^\alpha = f(k)
Asumiendo el producto per cápita efectivo y en la función anterior, tendremos que mientras menor sea α habrá un producto per cápita efectivo cada vez menor, es decir, la función toma la forma de una raíz, aunque la función es divergente al infinito si k tiende al infinito. La función anterior satsiface las condiciones de Inada, a saber:
\lim_{k \to \infty} f'(k) = 0, \qquad \lim_{k \to 0} f'(k)=\infty
Estos límites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de \scriptstyle f(k), es decir, el producto marginal del capital es 0 cuando k es alto. Además explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas últimas condiciones, aunque bastante evidentes matemáticamente, posteriormente implicarán que países con una cantidad de capital baja crecerían a tasas altas, mientras que países con altas cantidades de capital crecerían a tasas más bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este.

Ecuaciones relevantes del modelo de Solow[editar]

Existe una ecuación relevante del modelo de Solow, y es la ecuación de acumulación de capital.
(4)\dot{K}_t = \frac{\part K_t}{\part t} = sY_t - K_t\delta \,
Donde
s\, = Tasa de ahorro
Y_t\, = Producto de la economía en el período t
\delta\, = tasa de depreciación del capital existente.
K_t\, = Capital total en el período t
El término sY\, representa la inversión efectiva en capital que puede realizar la economía, que es el producto multiplicado por la tasa de ahorro (ya que el modelo presupone que todo el ahorro se invierte). El segundo término de la ecuación \delta K\, representa la inversión de reposición (o gastos de amortización) que representa cuanto capital ya no sirve o es inútil para la acumulación de capital. Para analizar más la inversión de reposición, es necesario determinar esta misma ecuación en términos per cápitas y efectivos.
Para calcular el incremento de stock de capital per cápita, derivando, usando la regla de la cadena y substiyendo el la ecuación resultante el resultado (4) se tiene:
(5)\dot{k} = \frac{\part}{\part t}\left(\frac{K}{AL}\right) = \frac{\dot{K}_t}{A_tL_t} - \frac{K_t}{A_tL_t^2}\dot{L}_t - \frac{K_t}{A_t^2L_t}\dot{A}_t = \frac{sY}{AL} - \frac{K}{AL} \left( \delta + \frac{\dot{A}}{A} + \frac{\dot{L}}{L} \right) = sy - (\delta + g+ n)k
Donde:
n:= \Delta L/L\,
g:= \Delta A/A\,
Esta última ecuación tiene el mismo aspecto que (4), pero en términos per cápita, con una inversión de reposición igual a \scriptstyle (\delta +n)k, que muestra la cantidad de inversión necesaria para mantener el capital constante. Aumentos de depreciación, tendrían efectos de disminución de la acumulación de capital, y por lo tanto, un menor [estado estacionario] del capital. Aumentos en la tasa de crecimiento de la población, causarían un aumento menor o disminución de la acumulación de capital per cápita efectivo.
Es necesario que la inversión efectiva pueda sostener los movimientos o la depreciación misma, así como el crecimiento de la población y la nueva tecnología que necesitan inversión física para producirla. Si tenemos altas tasas de crecimiento de la población, es difícil que el capital per cápita efectivo crezca, ya que habrá mayor maquinaria que repartir entre los nuevos individuos potencialmente productivos que entran al mercado. Así también, aumentos de la tasa de tecnología necesitan producir nueva maquinaria, por lo que es necesario que haya inversión efectiva para sostener aumentos de la tecnología.

Equilibrio del estado estacionario[editar]

Diagrama del modelo de crecimiento de Solow.
El equilibrio estacionario es la condición del modelo en que finaliza el aumento del capital reflejado en la ecuación de acumulación de capital per cápita, que termina con un capital fijo sin variaciones adicionales.
\begin{cases} \dot{k} =0 \\ sy = (n+g+\delta)k \\ y=f(k) \end{cases}
Como se supone que la función \scriptstyle f(\cdot) el sistema anterior tendrá una solución única \scriptstyle (y^*,k^*) y los niveles de renta per cápita efectiva, capital per cápita efectivo, tasa de ahorro, tasa de cambio tecnológico y tasa de depreciación del mismo determinan el llamado estado de equilibrio o estado estacionario del modelo de Solow.
El equilibrio en el modelo de Solow es la senda de la convergencia de los países: una economía, mediante la propiedad de rendimientos marginales decrecientes, tiende a decrecer su producción marginal; o dicho en otros términos, la producción total cada vez crece menos. Por lo que \scriptstyle sy tiende también a crecer menos, lo que eventualmente hace que se iguale a \scriptstyle (n+g+\delta)k. Esta condición mantiene el stock de capital per cápita efectivo constante, sin variaciones. Sin embargo, en estado estacionario, es posible afirmar que el producto per cápita crece a la tasa de crecimiento de la tecnología, y el producto total crece a la tasa de crecimiento de la población y de la tecnología. El aporte de estas variables exógenas logran explicar el crecimiento en el largo plazo, es decir, cuando la economía alcanza su capital estacionario.
Este es el gráfico principal del modelo de Solow, y muestra que en el equilibrio de largo plazo, \scriptstyle sy = (n+g+\delta)k \,. La razón de la convergencia es que y es igual a \scriptstyle f(k), la función del producto per cápita tiene rendimientos decrecientes, así también, la función de inversión efectiva sy\,. De esta forma, los rendimientos decrecientes del capital per cápita hacen que haya una convergencia entre la inversión de reposición y la inversión efectiva. En el gráfico, k "EST" representa el estado de capital estacionario y, por lo tanto, el estado de producto estacionario.

Aumentos en la tasa de ahorro[editar]

Un aumento en la tasa de ahorro haría que sy\, aumente, por lo que aumenta el capital de estado estacionario. El efecto de la tasa de ahorro tiene un efecto de crecimiento más rápido en el corto plazo, pero en el largo plazo el efecto es nulo. Básicamente, la tasa de ahorro tiene efectos en el nivel de producto, no así los efectos de la tasa del aumento de la tecnología, que son efectos de crecimientos en el largo plazo.

Condiciones del producto en estado estacionario[editar]

Teniendo la igualdad sy = (n+g+\delta)k \,, podemos reemplazar el capital, obteniendo así el capital de estado estacionario.
\frac{K^*}{L}=A\left(\frac{s}{\delta+g+n}\right)^\frac{1}{1-\alpha}.
Además, utilizando y=k^\alpha\, , obtenemos:
\frac{Y^*}{L}=A\left(\frac{s}{\delta+g+n}\right)^\frac{\alpha}{1-\alpha}.
En estado estacionario, es posible determinar las siguientes conclusiones:
  • Aumentos del nivel de tecnología producirían un mayor producto per cápita estacionario. Así también, mayor fuerza de trabajo incidiría positivamente en el producto estacionario. Inversamente, aumentos de la tasa de crecimiento de la población, y altas depreciaciones, tendrían como resultado bajos productos per cápita efectivos estacionarios.
  • En estado estacionario, dado que \Delta k=0\,, la tasa de crecimiento del producto total es igual a n+g y la tasa de crecimiento del producto per cápita es igual a g. El producto per cápita en estado estacionario crecería solo a la tasa de crecimiento de la tecnología.

La regla de oro[editar]

La regla de oro consiste en un capital óptimo que maximiza el consumo per cápita. Si asumimos que la utilidad depende del consumo, el capital de estado estacionario no es sinónimo de maximización, ya que con un capital óptimo se puede hacer el consumo máximo. Al respecto, es visible que:
\begin{align} & s\dot{y}=k(n+g+\delta ) \\ & c=y-sy;sy=k(n+g+\delta ) \\ & c=f(k)-k(n+g+\delta ) \\ \end{align}
Esta última ecuación representa el consumo en estado estacionario, es decir, el en el largo plazo. Necesariamente, para encontrar un capital que maximice el consumo , debemos derivar esta ecuación con respecto al capital.
c=f(k)-k(n+g+\delta )
Derivando el consumo respecto al capital, se tiene:
\frac{dc}{dk}=\frac{df(k)}{dk}-(n+g+\delta )
Igualando a cero, se tiene:
\frac{df(k)}{dk}=(n+g+\delta )= {\rm p.m.c.}(k)
Esto nos dice, que el producto marginal del capital, o la última unidad de capital generada debe ser igual a la tasa de crecimiento de la población, la tasa de depreciación y de tecnología para que el consumo sea máximo. Desde el punto de vista algebraico, se tiene que el capital de la regla de oro es el siguiente:
\begin{align} & \alpha k^{\alpha -1}=(n+g+\delta ) \\ & k^{\alpha -1}=\frac{(n+g+\delta )}{\alpha } \\ & k^{1-\alpha }=\frac{\alpha }{n+g+\delta } \\ & k_{RO}=\left( \frac{\alpha }{n+g+\delta } \right)^{\frac{1}{1-\alpha }} \\ \end{align}
Nótese la similitud con el capital estacionario. Se puede inferir, que la tasa de ahorro que maximiza el consumo es la siguiente:
\begin{align} & k_{RO}=k_{EST}=\left( \frac{\alpha }{n+g+\delta } \right)^{\frac{1}{1-\alpha }}=\left( \frac{s}{n+g+\delta } \right)^{\frac{1}{1-\alpha }} \\ & s=\alpha \\ \end{align}
Por lo tanto, necesariamente la condición para que el capital estacionario sea igual al capital de la regla de oro y se maximice el consumo es que la tasa de ahorro debe ser igual a la fracción del producto producida por el capital, es decir \scriptstyle \alpha.
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